【数模美赛 | 国赛必学】TOPSIS算法原理与Matlab Python代码演示

一、问题的提出

生活中我们常常要进行评价，上次我们讲到了层次分析法，通过构造判断矩阵，确定各指标的权重，然后对指标数值进行加权来进行打分，那还有别的方法吗？我们看下面图中的一个场景。

二、基本原理

1、基本概念

TOPSIS法是1981年由C.L.Hwang和K.Yoon这两个专家首先提出的，它可翻译为逼近理想解排序法，国内也常简称为优劣解距离法，这个是比较容易理解的，他就是来考虑我们的方案，距离最优或者最差方案的一个距离，TOPSIS法是一个非常常用的综合评价方法，能充分的利用原始数据及结果，也能精确地反映各个评价方案之间的差距。然后TOPSIS法这里引入了两个基本概念，首先就是理想解，理想解叫做设定中最优的解或者方案，它的各项属性值都达到了各备选方案中的最优值，负理想解是设想中最劣的解，它的各项属性值都达到了各备选方案中最坏的值。我们方案排序的规则是，把各备选方案与理想解和负理想解作比较，若其中有一个方案最接近理想解，同时呢又远离负理想解，那这个方案就是备选方案中最好的。TOPSIS法，就是通过最接近理想解，且最远离负理想解来确定我们的最优选择。

2、模型原理

TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序优选技术，在多目标决策分析中是非常有效的，它首先呢是通过归一化后的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标，分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离，获得各目标与理想解的贴近度，按理想解贴近度的大小排序，以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0～1之间，该值愈接近1，表示相应的评价目标越接近最优水平，反之，该值愈接近0，表示评价目标越接近最劣水平。

3、基本步骤

我们来看一下利用TOPSIS法解题的基本步骤，首先第一步就是将原始矩阵正向化，什么叫正向化呢，其实在衡量我们方案好坏的这么多指标中，不是所有的指标都是越大越好的，它可能会有一些指标是越小越好，所以这里我们就要将原始矩阵正向化，统一转化为一个极大型指标，也就是越大越好的这样一个指标，那第二步是正向矩阵的标准化，他主要就是去量纲的这样一个影响，保证不同的评价指标在同一个数量级，最后呢就是计算得分并归一化。

三、典型例题

1、问题

 上面候选人的指标呢其实就是我们的原始矩阵，那么我们按照上面所说的TOPSIS法解题步骤来结解决这个问题，首先第一步要干嘛，是不是要将原始矩阵正向化呀，那在原始矩阵正向化之前，我们需要先知道，总共有哪些类型的指标呢，其实总共有四种类型，第一种叫做极大型指标，它的指标特点是越大越好。第二个叫做极小型指标，它就是越小越好。第三种指标叫做中间型指标，它是越接近于某个值越好，它越大也不好，越小也不好。还有一个指标叫做区间型指标，它是落在某个区间最好。

2、原始矩阵正向化

原始矩阵正向化呢，就是把上面这三种指标转化为极大型指标，然后呢我们来看四种指标的转换公式，并将指标转化。（详细的转化方法可以关注b站up数模加油站，进行观看学习哦）

3、正向化矩阵标准化 

接下来我们将正向化后的矩阵标准化，标准化的目的是消除不同指标量纲的影响，这和我们层次分析法中讲到的归一化类似，标准化后，我们需要给不同指标加上权重。（详细的步骤可以关注b站数模加油站学习哦）

4、计算得分并归一化 

四、相关代码 

1、MATLAB代码 

 1、主代码

clear;clc
%%  1.判断是否需要正向化
% A=[9,10,175,120;8,7,164,80;6,3,157,90]
X=input('指标矩阵A=');    %%输入判断矩阵
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[1,2,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即
        % 循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X = ')
    disp(X)
end

%% 2.对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

%% 3.计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = 100*S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA  =  8     3     2     1
% index =  4     3     1     2

2、Positivization函数 

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
%     a=d+e;
%     b=e+f;
%     c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        posit_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

3、其他函数 

function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
     %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);  % row of x 
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)
    % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
    for i = 1: r_x
        if x(i) < a
           posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           posit_x(i) = 1;
        end
    end
end

2、PYTHON代码 

import numpy as np  # 导入numpy库，用于进行科学计算

# 从用户输入中接收参评数目和指标数目，并将输入的字符串转换为数值
print("请输入参评数目：")
n = eval(input())  # 接收参评数目
print("请输入指标数目：")
m = eval(input())  # 接收指标数目

# 接收用户输入的类型矩阵，该矩阵指示了每个指标的类型（极大型、极小型等）
print("请输入类型矩阵：1:极大型，2：极小型，3：中间型，4：区间型")
kind = input().split(" ")  # 将输入的字符串按空格分割，形成列表

# 接收用户输入的矩阵并转换为numpy数组
print("请输入矩阵：")
A = np.zeros(shape=(n, m))  # 初始化一个n行m列的全零矩阵A
for i in range(n):
    A[i] = input().split(" ")  # 接收每行输入的数据
    A[i] = list(map(float, A[i]))  # 将接收到的字符串列表转换为浮点数列表
print("输入矩阵为：\n{}".format(A))  # 打印输入的矩阵A

# 极小型指标转化为极大型指标的函数
def minTomax(maxx, x):
    x = list(x)  # 将输入的指标数据转换为列表
    ans = [[(maxx-e)] for e in x]  # 计算最大值与每个指标值的差，并将其放入新列表中
    return np.array(ans)  # 将列表转换为numpy数组并返回

# 中间型指标转化为极大型指标的函数
def midTomax(bestx, x):
    x = list(x)  # 将输入的指标数据转换为列表
    h = [abs(e-bestx) for e in x]  # 计算每个指标值与最优值之间的绝对差
    M = max(h)  # 找到最大的差值
    if M == 0:
        M = 1  # 防止最大差值为0的情况
    ans = [[(1-e/M)] for e in h]  # 计算每个差值占最大差值的比例，并从1中减去，得到新指标值
    return np.array(ans)  # 返回处理后的numpy数组

# 区间型指标转化为极大型指标的函数
def regTomax(lowx, highx, x):
    x = list(x)  # 将输入的指标数据转换为列表
    M = max(lowx-min(x), max(x)-highx)  # 计算指标值超出区间的最大距离
    if M == 0:
        M = 1  # 防止最大距离为0的情况
    ans = []
    for i in range(len(x)):
        if x[i]<lowx:
            ans.append([(1-(lowx-x[i])/M)])  # 如果指标值小于下限，则计算其与下限的距离比例
        elif x[i]>highx:
            ans.append([(1-(x[i]-highx)/M)])  # 如果指标值大于上限，则计算其与上限的距离比例
        else:
            ans.append([1])  # 如果指标值在区间内，则直接取为1
    return np.array(ans)  # 返回处理后的numpy数组

# 统一指标类型，将所有指标转化为极大型指标
X = np.zeros(shape=(n, 1))
for i in range(m):
    if kind[i]=="1":  # 如果当前指标为极大型，则直接使用原值
        v = np.array(A[:, i])
    elif kind[i]=="2":  # 如果当前指标为极小型，调用minTomax函数转换
        maxA = max(A[:, i])
        v = minTomax(maxA, A[:, i])
    elif kind[i]=="3":  # 如果当前指标为中间型，调用midTomax函数转换
        print("类型三：请输入最优值：")
        bestA = eval(input())
        v = midTomax(bestA, A[:, i])
    elif kind[i]=="4":  # 如果当前指标为区间型，调用regTomax函数转换
        print("类型四：请输入区间[a, b]值a：")
        lowA = eval(input())
        print("类型四：请输入区间[a, b]值b：")
        highA = eval(input())
        v = regTomax(lowA, highA, A[:, i])
    if i==0:
        X = v.reshape(-1, 1)  # 如果是第一个指标，直接替换X数组
    else:
        X = np.hstack([X, v.reshape(-1, 1)])  # 如果不是第一个指标，则将新指标列拼接到X数组上
print("统一指标后矩阵为：\n{}".format(X))  # 打印处理后的矩阵X

# 对统一指标后的矩阵X进行标准化处理
X = X.astype('float')  # 确保X矩阵的数据类型为浮点数
for j in range(m):
    X[:, j] = X[:, j]/np.sqrt(sum(X[:, j]**2))  # 对每一列数据进行归一化处理，即除以该列的欧几里得范数
print("标准化矩阵为：\n{}".format(X))  # 打印标准化后的矩阵X

# 最大值最小值距离的计算
x_max = np.max(X, axis=0)  # 计算标准化矩阵每列的最大值
x_min = np.min(X, axis=0)  # 计算标准化矩阵每列的最小值
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square((X - np.tile(x_max, (n, 1)))), axis=1))  # 计算每个参评对象与最优情况的距离d+
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square((X - np.tile(x_min, (n, 1)))), axis=1))  # 计算每个参评对象与最劣情况的距离d-
print('每个指标的最大值:', x_max)
print('每个指标的最小值:', x_min)
print('d+向量:', d_z)
print('d-向量:', d_f)

# 计算每个参评对象的得分排名
s = d_f/(d_z+d_f)  # 根据d+和d-计算得分s，其中s接近于1则表示较优，接近于0则表示较劣
Score = 100*s/sum(s)  # 将得分s转换为百分制，便于比较
for i in range(len(Score)):
    print(f"第{i+1}个标准化后百分制得分为：{Score[i]}")  # 打印每个参评对象的得分

作者：数模加油站