计算机错误计算详解（第四十五篇）

摘要  用错数分析计算机的错误计算（二）中一个简单案例的错误计算原因；并且指出，即使初始值是精确的，不精确的中间运算（甚至是初始运算）也可能将计算引向错误结果。

       首先，由计算机的错误计算（二十七）知，错数公式是

上式表示，函数值的错误数字个数  比自变量的错误数字个数  多约  位。其中 3个  符号依次表示导数、自变量以及函数值的扩展整数位数。

       事实上，上述误差为1，即也可能  比  多  位[1]。

例1.  已知下列迭代

用错数分析其对应程序的运行状态。
       设

则  这时  而

因此， 于是，函数值的错误数字个数比自变量的错误数字个数多  位或 2-1=1 位。

       下面讨论对应程序的运行结果。

       在Windows 10，Visual Studio 2010下运行下列代码：

则输出为：

这样，输出并不总是精确的12.3。究其原因，是因为初始值12.3在内存中实际上表示为12.300000000000001，这意味着自变量存在1位错误数字。根据之前的错数分析，函数值应该比自变量多出2位或1位错误数字。从上图可以看出，函数值为12.300000000000011，比自变量多出了1位错误数字。因此，当具有2位错误数字的值再次成为自变量时，下一次的函数值将有3位或4位错误数字。实际上，从上图可知，下一个值是12.300000000000210，确实又增加了1位错误数字。经过14次迭代计算后，输出中不再包含正确有效数字。到了近20次迭代时，输出值已接近200。

       需要注意的是，初始值是准确值；理论上，迭代值始终是该初始值。

[1] 赵世忠. 浮点运算错误计算原因[EB/OL]. 北京：中国科技论文在线 [2017-07-21]. https://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201707-86.

作者：zaim1