代码收藏家技术教程 2024-08-31

运筹优化中的数学建模——线性规划深度解析

1.线性规划

2.线性规划模型三要素

3.模型特点

4.建模步骤

5.案例演示

1.线性规划

线性规划（LP）是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。可为合理利用有限人力、物力、财力等资源作出最优决策，提供科学依据。

2.线性规划模型三要素

决策变量：问题中要确定的未知量，用于表明规划问题中的用数量表示的方案、措施等，可由决策者决定和控制。

目标函数：决策变量的函数，优化目标通常是求该函数的最大值或最小值。

约束条件：决策变量的取值所受到的约束和限制条件，通常用含有决策变量的等式或不等式表示。

3.模型特点

要解决的问题是优化类的（即在有限的资源条件下，获取最大的收益）。

目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，即不存在 $x^2,e^x,\frac{1}{x},\sin x,log_{2}x$ 等。

线性规划模型：在一组线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值。

4.建模步骤

1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。

2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。

3. 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

5.案例演示

5.1 游戏升满级

题目：该游戏每天有100点体力，可通过反复通关A、B、C三张地图来获取经验升级，通关A图可获得20点经验，通关B图可获得30点经验，通关C图可获得45点经验，但通关地图会消耗体力，其中通关A图消耗4点体力，通关B图消耗8点体力，通关C图消耗5点体力，同时A、B、C三图每天加在一起最多通关20次，求该怎么组合通关ABC三个地图的次数来使今天获得的经验最大？

解答：由上题可知：
决策变量：三个地图通关次数。设A、B、C三个地图通关的次数分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 。
目标函数：获得的经验最高。设经验为y， $max\ y=20x_1+30x_2+45x_3$ 。
约束条件：消耗体力不能超过100（ $4x_{1}+8x{2}+15x_{3}\leqslant 100$ ），三个地图最多超过20次（ $x_1+x_2+x_3\leq 20$ ），隐藏约束条件（ $x_1,x_2,x_3\geq 0$ ）,
用一般形式（代数形式）表现为：
$max\ y=20x_1+30x_2+45x_3,\\\\ s.t.\left\{\begin{matrix} 4x_1 +8x_2 + 15x_3 \leq 100,\\ x_1+x_2 +x_3 \leq 20, \\ x_1,x_2,x_3\geq 0 .\end{matrix}\right.$
转换为矩阵表现形式为：
$max\ y=c^{T}x,\\\\ s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leq b,\\ x\geq 0. \end{matrix}\right.$
$c=[20,30,45]^{T},x=[x_1,x_2,x_3]^{T}, A=\begin{bmatrix} 4 & 8 & 15\\ 1 & 1& 1 \end{bmatrix}, b=[100,20]^{T}$

其中：

$c=[c_1,c_2,...,c_n]^{T}$ ——目标函数的系统向量，即价值向量；

$x=[x_1,x_2,...,x_n]^{T}$ ——决策向量；

$A=(a_{ij})_{mxn}$ ——约束方程组的系数矩阵；

$b=[b_1,b_2,...,b_m]^{T}$ ——约束方程组的常数向量。

编程实现：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数，这里取负值，因为linprog默认进行最小优化
c=[-20,-30,-45]

# 不等式约束的系数矩阵
A_ub=[
    [4,8,15],
    [1,1,1]
]

# 不等式约束的右侧向量值b
b_ub=[100,20]
# 定义域
bounds=[[0,None],[0,None],[0,None]]

# 求解线性规划问题
# 注意：由于linprog默认是求解最小化问题，我们通过对目标函数系数取负值来转换为最大化问题
result=linprog(c,A_ub,b_ub,bounds=bounds)
# 输出结果
print('A、B、C三图分别通关的次数为：',result.x) # 解向量
# 目标函数的最大值是最小化问题的相反数
y=-result.fun
print('最终获得的经验为：',y)

输出结果如下，可知通过通关A图15次，B图5次，C图0次即可获得今天经验最大450值：

5.2 投资选择

题目：市场上有n种资产（如股票、债券、……） $s_i$ （i=1,2,…,n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产 $s_i$ 的平均收益率为 $r_i$ ，并预测出购买 $s_i$ 的风险损失率为 $q_i$ 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 $s_i$ 中最大的一个风险来度量。

购买 $s_i$ 要付交易费，费率为 $p_i$ ，并且当购买额不超过给定值 $u_i$ 时，交易费按购买 $u_i$ 计算（不买无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是 $r_0$ （ $r_0$ =5%），且既无交易又无风险。

已知 n=4 时的相关数据如表所示：

$s_i$	$r_i$ （%）	$q_i$ （%）	$p_i$ （%）	$u_i$ （元）
$s_1$	28	2.5	1	103
$s_2$	21	1.5	2	198
$s_3$	23	5.5	4.5	52
$s_4$	25	2.6	6.5	40

问：给上述公司设计投资组合方案，用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。

解答：由上题可知：
决策变量：投资不同项目 $s_i$ 的为 $x_i$ （i=1,2,…,n）。
目标函数：净收益Q尽可能大、总风险尽可能小。
约束条件：总资金M有限，每一笔投资都是非负数。

模型假设：

可供投资的资金数额M相当大。

投资越分散，总的风险越小，总体风险可用所投资的 $s_i$ 中最大的一个风险来度量。

可供选择的 n+1 种资产（含银行存款）之间是相互独立的。

每种资产可购买的数量为任意值。

在当前投资周期内， $r_i$ ， $q_i$ ， $p_i$ ， $u_i$ （i=0,1,…,n）固定不变。

不考虑在资产交易过程中产生的其他费用。

由于投资数额M相当大，而题目设定的定额 $u_i$ 相对M很小， $p_iu_i$ 更小，因此假设每一笔交易 $x_i$ 都大于对应定额 $u_i$ 。

模型建立：
1）总体风险用所投资的 $s_i$ 中最大的一个风险来衡量，即 $max\begin{Bmatrix} q_ix_i|i=1,2,...,n \end{Bmatrix}$ .
2）购买 $s_i$ （i=1,2,…,n）所付交易费本来是一个分段函数，但假设中已假设每一笔交易 $x_i$ 都大于对应定额 $u_i$ ，所以交易费= $p_ix_i$ ，这样购买 $s_i$ 的净收益可以简化为 $(r_i-p_i)x_i$ .
3）由以上可以得出：
目标函数为：
$\left\{\begin{matrix} max\sum_{i=0}^{n}(r_i-p_i)x_i, \\ \\ min\begin{Bmatrix} max_{1\leq i\leq n}\begin{Bmatrix} q_ix_i \end{Bmatrix} \end{Bmatrix} \end{matrix}\right.$
约束条件为：
$\left\{\begin{matrix} \sum_{i=0}^{n}(1+p_i)x_i=M ,\\\\ x_i\geq 0,\ i=0,1,...,n. \end{matrix}\right.$
可以发现这是一个多目标规划模型，我们可以将其进行简化变成一个目标的线性规划。

模型简化：
在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，这时可以给定风险一个界限a，使最大的一个风险 $\frac{q_ix_i}{M}\leq a$ ，这样就可以将目标函数中的 $min\begin{Bmatrix} max_{1\leq i\leq n}\begin{Bmatrix} q_ix_i \end{Bmatrix} \end{Bmatrix}$ 转换为约束条件 $\frac{q_ix_i}{M}\leq a$ （总体风险小于某个常数）。至此，模型用一般形式表现为：
$s.t.\left\{\begin{matrix} \frac{q_ix_i}{M}\leq a,i=1,2,...,n ,\\\\ \sum_{i=0}^{n}(1+p_i)x_i=M,\\\\ x_i\geq 0,i=0,1,...,n \end{matrix}\right.$
将数值代入进去得：
$min\ f=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]\cdot [x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]^{T}\\\\ s.t.\left\{\begin{matrix} x_0+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=M ,\\ 0.025x_1\leq aM ,\\ 0.015x_2\leq aM ,\\ 0.055x_3\leq aM ,\\ 0.026x_4\leq aM , \\ x_i\geq 0\ (i=0,1,...4). \end{matrix}\right.$
这里 M 我们取1万元，由于 a 是任意给定的风险度，不妨 a 从0开始，以步长 $\Delta a$ =0.001进行循环搜索，搜索至 a=5%（低风险者能够接受的风险）。

编程实现：

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import ones,diag,c_,zeros # 用于创建和操作数组
from scipy.optimize import linprog # 用于执行线性规划

# 设置matplotlib的参数使其支持LaTeX文本和字体大小
plt.rc('text',usetex=True)
plt.rc('font',size=16)

# 线性规划问题的目标函数系数
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185]

# 线性不等式约束的系数矩阵
# 使用c_来合并数组，zeros创建一个全0的数组作为第1列，diag创建一个对角阵
A=c_[zeros(4),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])]

# 线性等式约束的系数矩阵和右侧的值
Aeq=[[1,1.01,1.02,1.045,1.065]]
beq=[1]

# 初始化参数a，以及两个用于存储结果的空列表
a=0
aa=[]
ss=[]

# 循环，a的值从0开始，以0.0001的步长增加，直到0.05
while a<0.05:
    # 创建线性不等式约束的右侧值(b)
    b=ones(4)*a
    
    # 执行线性规划，得到最优解
    res=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bounds=[(0,None),(0,None),(0,None),(0,None),(0,None)])
    
    # 提取线性规划的解向量x和最优值Q
    x=res.x
    Q=-res.fun

    # 将当前的a值和对应的最优值Q存入列表
    aa.append(a)
    ss.append(Q)
    
    # a增加0.001
    a=a+0.001

# 绘制结果，a值与最优值Q之间的关系图
plt.plot(aa,ss,'r*')  # 使用红色星号标记数据点

# 设置坐标轴标签，其中a和Q将使用LaTeX格式显示
plt.xlabel('$a$')
plt.ylabel('$Q$',rotation=90)

# 显示图形
plt.show()

由上图可以看出：
① 风险不超过2.5%时，风险大，收益也大；
② 在a=0.006 附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的转折点作为最优投资组合，大约是 a=0.6%，Q=2000，所对应的投资方案为：
风险度a=0.006，收益Q=2019元； $x_0$ =0元， $x_1$ =2400元， $x_2$ =4000元， $x_3$ =1091元， $x_4$ =2212元。