代码收藏家技术教程 2024-09-02

季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）原理详解与Python实战应用

原理

季节性自回归积分移动平均模型（Seasonal ARIMA, SARIMA）是时间序列分析中处理季节性数据的一种重要方法。SARIMA 模型在 ARIMA 模型的基础上，增加了处理季节性成分的部分。SARIMA 模型的常见表示形式为 SARIMA(p, d, q)(P, D, Q, m)，其中：

p：非季节性自回归（AR）阶数。

d：非季节性差分（I）次数。

q：非季节性移动平均（MA）阶数。

P：季节性自回归（SAR）阶数。

D：季节性差分（SI）次数。

Q：季节性移动平均（SMA）阶数。

m：季节周期的长度（如月份数据的 m=12，季度数据的 m=4）。

SARIMA 模型的数学表达式为：

$(1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_i B^i)(1 - \sum_{i=1}^{P} \Phi_i B^{mi}) (1 - B)^d (1 - B^m)^D X_t = (1 + \sum_{j=1}^{q} \theta_j B^j)(1 + \sum_{j=1}^{Q} \Theta_j B^{mj}) \epsilon_t$

其中：

$\phi_i$ 和 $\phi_i$ 是非季节性和季节性自回归系数。

$\theta_j$ 和 $\Theta_j$ 是非季节性和季节性移动平均系数。

B 是滞后算子。

$\epsilon_t$ 是白噪声误差项。

通过这种表示形式，SARIMA 模型可以同时处理时间序列中的非季节性和季节性成分，使得模型更适用于有明显季节性变化的时间序列数据。

适用情况

SARIMA 模型适用于以下情况：

具有季节性模式：SARIMA 模型特别适用于具有季节性模式的时间序列数据。季节性模式是指时间序列在特定时间间隔内呈现出周期性变化。
短期和中期预测：SARIMA 模型既可以用于短期预测，也可以用于中期预测，特别是在处理季节性数据时效果显著。
非平稳时间序列：与 ARIMA 模型类似，SARIMA 模型也适用于非平稳时间序列数据，通过差分处理可以将其转化为平稳时间序列。

Python 示例代码

以下是使用 Python 实现季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）的示例代码，利用 statsmodels 库进行建模和预测：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 生成样本数据
np.random.seed(0)
data = np.random.randn(120).cumsum() + 10 * np.sin(np.linspace(0, 24, 120))

# 创建数据序列
data_series = pd.Series(data, index=pd.date_range(start='2020-01', periods=120, freq='M'))

# 可视化数据
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data_series)
plt.title('Sample Time Series Data with Seasonality')
plt.show()

# 检查数据平稳性
result = adfuller(data_series)
print('ADF Statistic:', result[0])
print('p-value:', result[1])

# 差分处理使数据平稳
if result[1] > 0.05:
    data_series_diff = data_series.diff().dropna()
    result_diff = adfuller(data_series_diff)
    print('Differenced ADF Statistic:', result_diff[0])
    print('Differenced p-value:', result_diff[1])

# 应用SARIMA模型
p = 1  # 非季节性自回归阶数
d = 1  # 非季节性差分次数
q = 1  # 非季节性移动平均阶数
P = 1  # 季节性自回归阶数
D = 1  # 季节性差分次数
Q = 1  # 季节性移动平均阶数
m = 12 # 季节周期

model = SARIMAX(data_series, order=(p, d, q), seasonal_order=(P, D, Q, m)).fit()
print(model.summary())

# 进行预测
pred_start = len(data_series)
pred_end = len(data_series) + 12
predictions = model.predict(start=pred_start, end=pred_end, dynamic=False)

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data_series, label='Original Data')
plt.plot(predictions, label='Predictions', color='red')
plt.legend()
plt.title('Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Model (SARIMA)')
plt.show()

在上述代码中：

我们首先生成了一些带有季节性成分的样本数据，并将其创建为一个 Pandas 系列对象。
使用 adfuller 函数检查数据的平稳性。如果数据不是平稳的，可以通过差分处理使其平稳。
使用 SARIMAX 类拟合 SARIMA 模型，并打印模型摘要。注意，这里我们指定了 SARIMA(p, d, q)(P, D, Q, m) 模型的阶数。
使用拟合好的模型进行预测，并将预测结果与原始数据进行可视化。

结论

季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）是处理具有季节性模式的时间序列数据的一种有效方法。通过结合自回归、差分、移动平均和季节性成分，SARIMA 模型可以捕捉时间序列中的复杂动态特征，特别是季节性变化。SARIMA 模型适用于具有季节性模式的时间序列数据，并且在短期和中期预测中表现良好。通过选择合适的模型阶数和季节周期，可以显著提高预测的准确性。在实践中，结合数据的具体特征和目标需求，调整模型参数以获得更好的预测效果。

作者：wodertianna