基于ECOS求解凸优化问题的实践与解析

ECOS基本介绍

ECOS（Embedded Conic Solver）是一个高效的开源优化求解器，主要用于解决线性规划（LP）、二次锥规划（SOCP）和指数锥规划等凸优化问题。它的设计目标是高效、鲁棒，并且能够嵌入在各种应用中。ECOS 特别适合在嵌入式系统和需要实时求解的大规模优化问题中使用。

ECOS特点

1.支持问题的类型：
(1)线性规划(LP)：目标函数为线性函数，且约束条件也为线性不等式或者线性等式。
(2)二次锥规划(SOCP)：目标函数为线性函数，约束条件为二次锥约束。
(3)指数锥规划：求解涉及到指数锥约束的问题。
2.高效性：
(1)ECOS使用内点法(Interior Point Method)进行求解，能够有效地处理大规模的优化问题。
(2)实现过程经过高度优化，在很多实际应用中效果出色。
3.适用于嵌入式设计：
(1)ECOS 的代码紧凑且高效，非常适合嵌入在资源受限的环境中，如嵌入式系统或移动设备中。
(2)它被设计为一个可移植的库，能够在多种平台上运行，包括 Windows、Linux 和 macOS。
4.易于使用
(1)ECOS 提供了简单的 API，易于集成到现有的项目中。
(2)它也有 Python 接口（通过 CVXPY），使得用户可以方便地在 Python 环境中进行优化求解。

ECOS应用领域

1.金融工程：投资组合优化、风险管理等。
2.控制系统：模型预测控制（MPC）、鲁棒控制等。
3.机器学习：支持向量机（SVM）、稀疏编码等。
4.通信网络：资源分配、流量优化等。

使用C/C++接口进行求解

考虑到嵌入式系统求解硬件资源有限，所以使用更为高效的C/C++接口进行开发。

基本使用步骤

1.Setup：求解器初始化，分配内存，初步处理输入参数等。
2.Solve：使用核心内点求解器进行求解，这是无需任何动态内存分配。
3.Cleanup：释放内存。

[Step 1]Setup

根据问题参数对求解器进行初始化
主要函数：

pwork* ECOS_setup(idxint n, idxint m, idxint p, idxint l, idxint
ncones, idxint* q, idxint e,  
                  pfloat* Gpr, idxint* Gjc, idxint* Gir,  
                  pfloat* Apr, idxint* Ajc, idxint* Air,  
                  pfloat* c, pfloat* h, pfloat* b);

参数说明：

[Step 2]Solve

调用一个求解函数即可：

idxint ECOS_solve(pwork* w);

该函数返回一个整数，表示求解结果。

可见，正数结果表示求解成功或者是有令人较为满意的求解精度。而负数的返回值表示求解器无法给出有效结果，需要对错误进行处理等。
所以，可以通过对返回值的正负进行初步结果评估。

返回码详细说明

ECOS_OPTIMAL：Optimal solution found
表示优化求解器成功找到了解决方案，并且这个解决方案是最优的。在这种情况下，求解器已经完成了计算，并且找到了满足所有约束条件的最优解。

ECOS_PINF：Certificate of primal infeasibility found
求解器在尝试找到问题的最优解时，发现了原始问题（primal problem）不可行。这意味着在给定的约束条件下，没有任何满足所有约束条件的解。

ECOS_DINF：Certificate of dual infeasibility found
表示在尝试找到问题的最优解时，发现了对偶问题（dual problem）不可行。这意味着对于原始问题（primal problem），不存在任何有限的对偶解能使得对偶问题的约束条件全部满足。

ECOS_OPTIMAL + ECOS_INACC_OFFSET：Optimal solution found subject to reduced tolerances
表示求解器在较低的精度要求下找到了问题的最优解。

ECOS_PINF + ECOS_INACC_OFFSET：Certificate of primal infeasibility found subject to reduced tolerances
表示在优化求解过程中，求解器发现原始问题（primal problem）在降低容差标准的情况下仍然不可行。这意味着，即使放宽了容差要求，求解器仍然找不到任何满足所有约束条件的解。

ECOS_DINF + ECOS_INACC_OFFSET：Certificate of dual infeasibility found subject to reduced tolerances
表示在优化求解过程中，求解器发现对偶问题（dual problem）在降低容差标准的情况下仍然不可行。这意味着，即使放宽了容差要求，求解器仍然找不到任何满足对偶约束条件的解。

ECOS_MAXIT：Maximum number of iterations reached
表示求解器在设定的最大迭代次数内未能找到最优解或满足停止条件的解，意味着当前的迭代次数限制不够高，求解器在给定的时间内无法收敛到一个解决方案。

ECOS_NUMERICS：Numerical problems (unreliable search direction)
表示求解器在搜索过程中发现数值不稳定，导致无法确定可靠的搜索方向，意味着求解器遇到了浮点数精度问题或其他数值稳定性问题。

ECOS_OUTCONE：Numerical problems (slacks or multipliers outside cone)
表示在锥规划问题中，求解器发现松弛变量或乘子不满足锥内条件，导致数值不稳定，意味着求解过程中某些变量或乘子不符合锥的定义（例如非负性约束等），影响了解的准确性。

ECOS_SIGINT：Interrupted by signal or CTRL-C
被系统信号或者用户中断打断。

ECOS_FATAL：Unknown problem in solver
未知问题。

相关基本概念

最优解与降低容差

1.最优解：
求解器报告找到了一个最优解。
这个解是当前问题在给定的约束条件下的最优值。
2.降低容差：
求解器在求解过程中放宽了容差标准。
这意味着求解器允许解的精度稍微降低，即解可能不是非常精确，但仍然被认为是可接受的。
容差降低通常是为了加快求解速度或者在遇到求解困难时放宽条件以找到一个近似解。

降低容差发生的原因：

1.问题过于复杂：
原始问题可能非常复杂，求解器在高精度条件下难以找到解。
为了在合理时间内找到解，求解器降低了容差。
2.数值稳定性问题：
问题可能存在数值不稳定性或病态条件，使得在高精度下难以求解。
降低容差可以帮助求解器在这种情况下找到一个近似解。
3.实际计算资源限制
在计算资源有限的情况下（如时间或内存），降低容差可以加快求解过程。

原始问题和对偶问题

在凸优化中，问题通常可以表述为原始问题（primal problem）和对偶问题（dual problem）：
1.原始问题： 直接描述我们需要解决的优化问题，带有约束条件。
2.对偶问题： 从原始问题派生而来，提供了对原始问题的一种间接描述，通过引入拉格朗日乘子来表示。

不可行性与证明

当求解器发现原始问题不可行时，这意味着在给定的约束条件下，没有任何解能够满足所有的约束。求解器通常会通过以下步骤来确定这一点：
1.检验约束条件： 求解器会尝试找到一组变量，使它们既满足约束条件，又使目标函数达到最优。
2.检测不可行性： 如果求解器发现无法找到任何满足所有约束条件的解，它就会给出“不可行性”的结论。
3.证明（Certificate）： 为确认不可行性，求解器会生成一个证明，这个证明是一种数学证明，表明在当前约束条件下，确实不存在可行解。

注意对“不可行性”和“证明”的区分：不可行性，是指求解器无法找到可行解，但是不代表可行性解不存在。而证明是指在理论上可行性解就不存在，是无论如何都找不到的。

[Step 3]Cleanup

调用一个函数即可：

void ECOS_cleanup(pwork* w, idxint keepvars);

此函数会释放求解使用的所有内存。

作者：LGQWakkk