代码收藏家技术教程 2025-02-15

常用于优化算法测试的python非凸函数有哪些？

在优化算法领域，有一些常用的测试函数，它们被广泛用于评估和比较不同优化算法的性能。

非凸函数是指在其定义域内至少存在一个点，使得该点的任意邻域内函数值不满足凸性条件的函数。换句话说，非凸函数在其定义域内至少存在一个点，使得函数的图像在该点的任意小区域内不是向上凸的。这可能导致函数有多个局部最小值，使得优化问题变得更加复杂，因为标准的凸优化方法可能无法找到全局最小值。

以下是一些常用的非凸测试函数：

1. Rosenbrock函数（Rosenbrock’sfunction）

用于测试非线性、多维优化算法，特别是在多维空间中，具有一个全局最小值和许多局部最小值。

（1）Rosenbrock函数的定义

Rosenbrock函数，也被称为Rosenbrock的山谷或Rosenbrock的香蕉函数，是一个用于测试优化算法性能的非凸函数。它在多维空间中有一个明确的全局最小值，但同时也包含许多误导性的局部最小值，这使得它成为优化算法的一个挑战。

Rosenbrock函数的定义如下：

其中x=(x1,x2,…,xn)是一个n维向量。

这个函数的全局最小值是0，它在x=(1,1,…,1)处取得。然而，由于函数的形状，许多优化算法可能会陷入局部最小值，尤其是那些只进行局部搜索的算法。

（2）python示例

示例中，rosenbrock函数接受一个一维数组x作为输入，并返回计算得到的Rosenbrock函数值。Python代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 定义Rosenbrock函数
def rosenbrock(x):
    return sum(100.0 * (x[1:] - x[:-1]**2.0)**2.0 + (1 - x[:-1])**2.0)

# 创建一个二维网格
x = np.linspace(-2, 2, 400)
y = np.linspace(-1, 3, 400)
x, y = np.meshgrid(x, y)

# 计算网格上每一点的Rosenbrock函数值
z = 100.0 * (y - x**2.0)**2.0 + (1 - x)**2.0

# 创建3D图形
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 绘制曲面图
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')

# 设置图形的标签
ax.set_xlabel('X Label')
ax.set_ylabel('Y Label')
ax.set_zlabel('Z Label')

# 显示图形
plt.show()

展示在三维空间中绘制这个函数的图像：

图1 rosenbrock函数的三维效果图

2. Rastrigin函数（Rastriginfunction）

一个非凸函数，具有许多局部最小值，常用于测试全局优化算法。

（1）Rastrigin函数的定义

Rastrigin函数是一个常用的非线性多峰测试函数，它在优化算法中用来评估算法的性能。这个函数在二维空间中定义如下：

其中，x1和x2是两个独立变量，函数的全局最小值点为(0,0)，最小值为0。

（2）python示例

实例中，Rastrigin函数接受一个一维数组x作为输入，这个数组代表了一个点在多维空间中的坐标，然后计算并返回Rastrigin函数的值。三维的Python代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 定义Rastrigin函数
def rastrigin(x):
    A = 10
    return A * len(x) + sum(xi**2 - A * np.cos(2 * np.pi * xi) for xi in x)

# 创建一个二维网格
x = np.linspace(-5.12, 5.12, 100)  # x轴范围
y = np.linspace(-5.12, 5.12, 100)  # y轴范围
X, Y = np.meshgrid(x, y)  # 创建网格

# 计算网格上每一点的Rastrigin函数值
Z = np.array([rastrigin([x, y]) for x, y in zip(np.ravel(X), np.ravel(Y))]).reshape(X.shape)

# 创建3D图形
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 绘制曲面图
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none')

# 设置图形的标题和标签
ax.set_title('Rastrigin Function 3D Surface')
ax.set_xlabel('X-axis')
ax.set_ylabel('Y-axis')
ax.set_zlabel('Function Value')

# 添加颜色条
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)

# 显示图形
plt.show()

代码说明：

导入库：我们导入了numpy用于数值计算，matplotlib.pyplot用于绘图，mpl_toolkits.mplot3d用于3D绘图。

定义Rastrigin函数：rastrigin函数接受一个数组作为输入，计算并返回Rastrigin函数的值。

创建网格：使用np.linspace生成x和y的范围，并使用np.meshgrid创建一个二维网格。

计算函数值：在网格的每个点上计算Rastrigin函数的值，并将结果存储在Z数组中。

绘制3D图形：使用plot_surface绘制曲面图，并设置标题和坐标轴标签。

显示图形：使用plt.show()显示绘制的图形。

展示在二维/三维空间中绘制这个函数的图像：